（一）群论研究方向的研究内容及成果

1、群构造及群的可解性问题研究。多年来, 我们长期致力于研究具有某种性质的子群以及具有某种形式的阶的子群对群构造的影响问题。比较完整地、 系统地研究了与正规性有关的各种子群, 如拟正规子群、 次正规子群、 半正规子群、 反正规子群、半置换子群等对有限群构造的影响。

2、群论方法对图论中问题的研究。我们研究置换群本身的某些性质以及群在图上的作用,并应用群论方法和结果研究图论中的若干问题。我们给出了奇素数幂阶的弧传递循环有向图、二面体上非正规1正则的4度Caley图、4p阶的弧传递的三度对称图、pn(n≤2)个点上度数不超过3的有向对称图的完全分类等结果。

3、有限p-群的正规结构问题研究。我们在p-群研究领域解决了以色列p-群专家Y. Berkovich在他的未出版的p-群巨著《Groups of Prime Power Order 》中提出的几个公开问题，初步建立起p-群的研究队伍, 形成了自己的研究特色。

4、计算群论研究：计算群论是有限单群分类完成之后，越来越活跃的一个研究领域。我们在该领域开始学习和研究，已开展初步工作。

（二）群论研究方向的发展简况

我院的群论研究起步于1979年。1979年暑假，山西大学张宝林教授邀请武汉大学张远达教授在太原举办有限群讲习班，张成业老师带他的学生张勤海前去听讲。自此以后，有限群研究在我院开始起步。根据学校发展的需要，1982年，在当时的院领导和数学系领导的支持下，代数教研室主任张成业老师派张勤海去武汉大学进修，系统学习代数学方面的知识。1982年9月至1984年1月，张勤海跟随张远达教授、熊全淹教授从头开始进修了近世代数、有限群论、环理论、模理论、数论、交换代数等代数学方面的课程。进修期间，参加了樊恽老师主持的有限群讨论班，也得到了他的指导。

1985年张勤海考取了西南师范大学数学系的研究生，师从陈重穆教授学习有限群论。在学期间，开始考虑次正规子群分别是正规子群、拟正规子群、s-拟正规子群的有限群以及子群为正规（拟正规、s-拟正规、半正规、s-半正规）或自正规（反正规）的有限群的构造、内-外-∑-群等问题并在这个研究领域发表了一系列研究论文。1987年他的第一篇论文"有限可解T-群的一个充要条件"发表在西南师范大学数学系编印的内部刊物《研究记事》上。这是我院群论研究方向的第一篇研究论文。

以后的几年，张勤海在群论研究方向上又在《数学学报》、 《工程数学学报》、 《数学研究》、 《Northeast Math. J》、 《J of Math．Res．& Exp.》、《Chinese Quarterly J. Of Math.》等杂志发表了十六篇研究论文。赵英教授1985年调来我院后在群论方向上也进行过研究，分别于1991年、1992年在《永利集团304am登录学报》、《工程数学学报》等杂志发表了群论研究的三篇论文。张成业与张勤海合作在《曲阜师范大学学报》发表了群论研究论文一篇。张勤海1987年西南师范大学研究生毕业后返校工作，这大致是群论研究方向的早期情况。

1987年张成业教授招收第一届研究生陈尚弟，1988年招收第二届研究生王俊新。张成业教授确定把群论作为两名研究生的研究方向，赵英与张勤海一起协助培养。这为群论研究方向在我院的扎根起到了奠基作用。从此有限群研究方向开始在我院坚持下来至今。

陈尚弟、王俊新在张勤海硕士学位论文的基础上分别研究了内-(q)-(p)-群、(s)-群及内-(s)-群，陈尚弟对于含有一个二元生成的非交换极大子群的内-(q)-(p)-群获得了全部分类；王俊新获得了(s)-群的结构并对内-(s)-群获得了全部分类。这两届研究生毕业后，张成业教授1991年10月退休，群论研究方向停止招生。赵英继续在计算复杂性理论领域开展研究工作。

1995年8月张勤海赴美留学，考取纽约州立大学宾厄姆顿分校(State University of New York at Binghamton, 简称SUNY)博士研究生，师从Ben Brewster教授继续学习群论。在学期间，主要研究由著名群论学家B. Huppert于1967年在他的有限群专著提出，K.Doerk和 T.Hawkers于1992年在他们的有限可解群巨著中再一次提出的非可解群中一个长期以来悬而未决的公开问题，即反正规子群与自正规化子的关系问题，张勤海对交代群Ap进行了研究，首次在肯定方向上回答了这个问题。之后又与Ben Brewster、M. Ward（美国）合作对交代群An 进行了研究，在肯定方向上又进一步回答了这个问题。张勤海也完整地解决了每个子群为半置换的有限群的结构问题。该方面的成果发表在《Archiv der Mathematik》、 《Communication in Algebra》、《J．of Math．Res．＆ Exp.》和《Northeast Math. J》等杂志上。1998年7月获该校数学博士学位后回校工作。

该时期群论研究方向的科研人员主要研究群构造及可解群方面的有关问题。给出了满足一些条件的有限群的构造，在国内外杂志上发表了20余篇学术研究论文。张勤海与王俊新的主要成果获山西省科技进步奖二等奖。

2000年后，群论研究方向的科研工作主要围绕研究生的培养进行。根据我院的实际及研究生的生源情况，采取导师与研究生一起开展研究工作的模式。在这方面, 导师们付出了很大的心血, 也取得了很好的成果。我们的主要做法是：

1、资助研究生参加学术会议，以开阔研究生的学术视野，让研究生获取尽可能多的专业信息，增强研究生的自信心；

2、聘请校外专家讲学和做专题讲座。在让研究生走出去的同时，导师们聘请本专业和相关专业的国内外著名学者经常来我校为研究生做不同类型的报告和讲座，让研究生领略著名学者的风采，了解学科前沿动态，提高研究生的学习兴趣和积极性；

3、对研究生的生活给予不同程度的资助。由于基础研究的困难性及枯燥性，需要研究生耐得住寂寞，甘坐冷板凳，潜心学习钻研，为了使他们有一个较好的生活条件，导师们从项目经费中对研究生的生活给予不同程度的资助；

4、让研究生参与课题研究，较快提高研究生的科研能力。为使研究生尽快接触学科前沿，导师们结合承担的项目为研究生选题。在这方面，导师们把自己想好的题目和研究思路告诉研究生，与他们一起联合攻关。这样做提高了研究生培养质量。

5、编写研究生教材及辅助材料。由于我国研究生教育起步较晚以及研究生教育的特殊性，研究生教材的建设一直比较薄弱。针对此种情况，结合基础课的教学，我们开始考虑研究生教材的建设。到目前为止，已出版了研究生教材三部，完成研究生教材一部；

6、自招收研究生以来, 一直坚持导师为研究生讲授基础课。

2000年9月，张勤海教授在应用数学硕士点招收第一届群论方向研究生王丽芳、赵俊英。张勤海与研究生一起继续研究群构造及可解群方面的有关问题。

张勤海与王丽芳继续研究半置换子群对有限群的幂零性、超可解性、可解性的影响问题，得到了许多有意义的结果。尤其是找出了所有的只含一个非平凡半置换子群的有限非交换单群，作为推论，完全回答了V.S.Monakhov于1990年在《Unsolved Problems in Group Theory》中提出的一个问题。这方面的研究成果发表在《Algebra Colloquium》、 《Chinese Quarterly J. Of Math.》、《J．of Math．Res．＆ Exp.》、《数学学报》等杂志上。王丽芳的博士学位论文又继续了该领域的研究，获得了很好的结果。

共轭置换子群是一个新的概念，1997年由T. Foguel提出，只做了初步研究。国内外在该方面的研究几乎是空白。张勤海与赵俊英在这个领域开始探索，获得了有限群为幂零、超可解的许多充分条件。成果发表在《数学杂志》、《纯粹数学与应用数学》、《西南师范大学学报》等杂志上。

2002年张勤海教授在基础数学硕士点招收第二届群论方向研究生周进鑫、王玲丽、郭鹏飞。2003年1月，我国著名群论学家、北京大学徐明曜教授来我校工作，被我校聘为特聘教授。他的到来使群论研究的领域进一步拓宽，研究水平迈上了一个新的台阶。徐明曜、张勤海与国内外有关学者一起主要研究群与图中的有关问题及半置换子群对有限群的影响问题，并指导这三名研究生在该领域开展学习和研究，得到了某些图的分类及有限群的某些刻划，获得了许多有意义的结果。

徐明曜与Baik、Young-Gheel（韩国）、Sim、Hyo—Seob（韩国）给出了奇素数幂阶的弧传递循环有向图的分类，该成果发表在组合论最高级别的刊物《European Journal of Combinatorics》上，徐明曜与王长群（郑州大学）研究了二面体上非正规1正则的4度Caley图；徐明曜、张勤海与周进鑫分类了4p阶的弧传递的三度对称图，确定了交换群上小度数的Cayley有向图的正规性并给出了pn(n≤2)个点上度数不超过3的有向对称图的分类；张勤海与王玲丽分类了满足某些条件的Petersen图的连通正则覆盖图；张勤海与王丽芳、郭鹏飞确定了Sylow子群的极大子群分别是正规、拟正规、s-拟正规、半正规、s-半正规的有限群的结构。这些成果发表在《Discrete Mathematics 》、《Chin. Ann. Math.》、《Southeast Asian Bull.Math.》、《系统科学与数学》、《数学实践与认识》等杂志上。

2003年以来，根据国内外群论研究的发展趋势，徐明曜、张勤海决定对群与图及可解群领域继续进行研究，但把精力转移到国内比较薄弱的p-群领域。徐明曜、张勤海与2003～2006年的四届研究生一起在有限p-群的正规结构问题及满足某些条件的有限p-群的分类等问题上开展了一系列研究工作，解决了该领域的几个公开问题，取得了令人瞩目的成果，形成了明显的研究特色。

2003年徐明曜教授、张勤海教授在应用数学、基础数学硕士点招收了7名群论方向的研究生。他们是：安立坚、宋蔷薇、祁燕、孙翠娟、孙秀娟、曹建基、刘慧峰。与这届研究生一起，徐明曜、张勤海与安立坚分类了真子群为交换或亚循环的有限p-群以及真子群为交换或二元生成的有限p-群，解决了Y. Berkovich在他的未出版的有限p-群专著中的两个问题；该成果发表在代数领域最高级别的刊物《J. Algebra》上，张勤海、徐明曜与孙秀娟、安立坚分类了二极大子群为交换的有限p-群，纠正和补充了Y. Berkovich与Z. Janko关于A2-群的一个小的错误和遗漏的情况；徐明曜与安立坚、曲海鹏、杨重生（北京大学）确定了拟NC-群的结构；张勤海、徐明曜与宋蔷薇分类了型不变量为（1,1,1,1,1）和(e,1,1,1) (e≥ 2)的正则p-群，作为推论，给出了p5(p≥ 5)阶群的一个分类；张勤海、徐明曜、曲海鹏与孙翠娟给出了有限二元生成平衡p-群的分类，解决了Y. Berkovich在他的未出版的有限p-群专著中提出的一个问题；张勤海与曹建基给出了超特殊p-群的一个刻划以及非平凡正规子群有相同阶的有限群的结构；李世荣（广西大学）与张勤海给出了有限群是p-超可解的两个充分条件；徐明曜、张勤海分类了亚循环2-群；讨论了每个子群均共轭置换的有限群；张勤海给出了最小的Suzuki 2-群的一个刻划。以上成果发表在《Communication in Algebra》、《Algebra Colloquium》、《Archiv der Mathematik》、 《Acta Math. Hungarica》、《Acta Math. Sinica》、《中国科学》、《数学进展》、《数学研究与评论》等杂志上。

2004年群论方向招收了6名研究生。他们是：郭小强、张军强、邓立军、李志秀、平彩霞、张巧红。在徐明曜、张勤海、曲海鹏的指导下，邓立军确定了任意两个非交换元均生成p3阶子群的有限p-群, 作为推论，解决了Y. Berkovich在他的未出版的有限p-群专著中提出的一个问题。该成果发表在《数学物理学报》上。郭小强获得了阶≥p3的子群均正规的有限p-群的分类；李志秀找出了阶≤p5的所有capble p-群；张军强分类了指数为p2 的子群皆亚循环的有限p-群；张巧红研究了极小非p-交换p-群，特别是获得了极小非3-交换3-群的分类；平彩霞对极大类p-群写出了综述文章。

2005年10月～2007年5月，中科院博士后曲海鹏来我院进行学术访问交流，2007年5月正式来我院任教。2006年7月中山大学博士王丽芳毕业后回母校任教。2006年7月安立坚毕业后留校任教并攻读北京大学在职博士研究生。2006年7月宋蔷薇考取了上海大学的博士生,但主要在我院做研究工作。 群论方向的研究力量进一步壮大，学术梯队初步形成。研究方向发展为抽象群论、计算群论、群与图。

2005年群论方向招收了李立莉、任丽娟、高建玲、毛月梅、陈蓉等5名研究生。张勤海、徐明曜、曲海鹏与李立莉主要研究内交换p-群的p阶中心扩张问题及比A2-群类更广的两类群的分类问题，获得了这些群的同构分类。曲海鹏、徐明曜与陈蓉完全确定了内交换且亚循环p-群的自同构群； 王丽芳与王燕鸣（中山大学）利用子群的z-置换性获得了一个群是超可解的充分条件；该成果发表在《Acta Math. Sinica》上，王丽芳与高建玲利用子群的s-半置换性、自共轭置换性研究有限群的性质，获得了一个群为幂零的一些充分条件。毛月梅对国内仍属空白的powerful p-群， 即幂导p-群做了较全面的介绍，分类了恰有p个相互共轭的不正规子群的有限群；任丽娟则对含有"较多"交换子群的有限p-群及有"较多"正规子群的有限p-群的研究状况做了较全面的介绍。

2006年招收了11名研究生，他们是：胡瑞芳、张小红、刘一丁、孙萤、彭娟、常丽琴、党少杰、武元春、许万、陈迎光、李强。

2007年招收了17名研究生，他们是：郑丽峰、杨苏姗、赵立博、蔡东平、张惠芳、丁建芳、暴海明、上官丽宏、李娟、宋淑敏、高娟、成小院、魏军军、乔媛媛、薛芳芳、李璞金、刘军。群论研究方向的科研人员将结合对2006级、2007级和以后的研究生培养，在抽象群论、计算群论、群与图等研究领域开展一系列的研究工作。

据不完全统计，近二十年来，群论研究方向的科研人员以永利集团304am登录为第一作者单位在国内外22种知名杂志上发表论文56篇，其中被SCI收录20篇。张勤海出版了研究生教材《抽象代数》一部（连续三年重印），徐明曜出版了《Finite Group Theory for combinatorics》一部, 《Regular p-groups and Their Generalizations》一部，已完成专著《有限p-群》一部。徐明曜、张勤海、王丽芳先后被聘请为美国《数学评论》评论员，为美国《数学评论》撰写评论50余篇。徐明曜曾任《Algebra Colloquium》、《International Journal of Mathematical Combinations》、《Ars Mathematica Contemporance》编委、张勤海任《数学研究》编委。张勤海曾荣获山西省优秀共产党员、优秀科技工作者、优秀留学回国人员、研究生教育优秀导师等荣誉称号，2001年获山西省科技进步奖二等奖一项。

在科学研究的过程中，群论研究方向的科研人员特别注重与国内外同行的学术交流。先后邀请美国纽约州立大学宾厄姆顿分校的Ben Brewster教授、韩国浦项理工大学的Jin Ho Kwak教授、中科院、北京大学、北京师范大学、北京航空航天大学、北京交通大学、首都师范大学、浙江大学、上海大学、广西大学、哈尔滨工业大学等十几所大学的数十名学者来我院做学术报告和讲学。有4人赴美国、英国、俄罗斯、澳大利亚、韩国访问交流，与以色列等国同行经常保持通信联系。先后有15人次参加国际学术会议并做学术报告，有20余人次参加国内学术会议，其中10余人次做学术报告。张勤海被首都师大、中北大学、太原师院等院校邀请做学术报告6次。2003年受中国数学会委托在我校举办了全国群论学术研讨会。

在科学研究的过程中，群论研究方向的科研人员始终把人才培养作为自己的重要职责。在已毕业的20名研究生中，9人考取博士研究生，他们是：陈尚弟（浙江大学）、王俊新（上海大学）、王丽芳（中山大学）、周进鑫（北京交通大学）、王玲丽（苏州大学）、郭鹏飞（上海大学）、安立坚（北京大学）、宋蔷薇（上海大学）、张军强（苏州大学），其他研究生均已在省内外高校工作。周进鑫、宋蔷薇分别获2005、2006年度山西省普通高校优秀毕业生；李立莉获2007年度永利集团304am登录优秀毕业生；王丽芳、周进鑫、宋蔷薇的硕士学位论文分别获2003、2005、2006年度山西省优秀硕士学位论文；安立坚、郭小强、李志秀的硕士学位论文分别获2006、2007年度永利集团304am登录优秀硕士学位论文。他们的学位论文的部分或全部几乎都发表在SCI收录刊物和数学类核心期刊上，其中研究生独立或以第一作者发表论文9篇，与导师合作以第二作者发表论文12篇, 其中6篇被SCI收录。研究生中有26人次参加在北京、成都、武汉、临汾举办的国内学术会议和讲习班，其中王丽芳、周进鑫、王玲丽、郭鹏飞、安立坚、宋蔷薇、孙翠娟在会上做学术报告，在国内外同行中引起较大反响，为我校数学研究生的培养质量赢得了荣誉。2008年4月在徐州召开的国际学术会议上、李立莉、高建玲、陈蓉、毛月梅、陈迎光、孙莹、张小红在小组会上做学术报告。

在科学研究的过程中，群论研究方向的科研人员得到了永利集团304am登录、山西省、国家各类研究经费的支持。自1986年以来，主持和参与各类科研项目21项，获其它经费支持7项。其中：

张成业1986年主持山西省自然科学基金一项。

赵英1988年与1991年分别主持校基金一项；1992年主持山西省自然科学基金一项。

张勤海 1988年主持校基金一项； 1992年主持山西省青年科学基金一项（编号：921004）；1998年获永利集团304am登录博士科研启动费支持；1998～2004年获永利集团304am登录学术带头人经费三次支持；1998～2007年主持山西省回国留学人员科研项目五项（编号：晋出留管字[1998]2号；晋出留管字[2000]2号；晋出留管字[2002]16号；晋留管办发[2004]7号；晋留管办发[2007]13-56号）；1999年主持教育部回国留学人员科研项目一项（编号：教外司留[1999]363号）；1999～2007年主持山西省自然科学基金三项（编号：991008；20011004；20051007）；2002年主持教育部科学技术研究重点项目一项（编号: 02023）；2003年主持山西省重点学科专项基金一项；2001-2006年参与国家自然科学基金两项（编号: 10171086；10471085）；2007～2009年主持国家自然科学基金一项（编号: 10671114）。

王丽芳2006年获永利集团304am登录博士科研启动费支持；2006年王丽芳主持山西省青年科学基金一项（编号: 2007021004）， 2007年主持国家数学天元青年基金一项（编号: 10726002）。

曲海鹏2007年获永利集团304am登录博士科研启动费支持。

回顾我院群论研究方向的发展历史，如果说取得了一些成绩的话，这与老前辈张成业教授的关心与支持是分不开的；与徐明曜教授的指导与带领分不开；与数学系良好的学术氛围分不开；与永利集团304am登录主要领导的远见决策分不开。如果说有什么经验需总结的话，那就是群论研究团队的成员淡泊名利，默契合作，甘坐冷板凳，扎扎实实做学问的科学献身精神并由此形成的人格力量。展望未来，我们有理由相信，我院群论研究方向的科研工作将做出更好的成绩。